Matemáticas · Capítulo 9

Fracciones y Decimales: Domina los Números Racionales

Comprende la naturaleza de los números racionales, domina las operaciones con fracciones y conecta el mundo de los decimales con el de las fracciones.

1. ¿Qué es una Fracción?

Una fracción representa una parte de un todo. Se escribe como numerador / denominador, donde el numerador indica cuántas partes tomamos y el denominador indica en cuántas partes iguales está dividido el todo.

Tipo	Definición	Ejemplo
Fracción propia	Numerador < Denominador	3/4, 1/2, 5/8
Fracción impropia	Numerador ≥ Denominador	7/4, 5/3, 9/2
Número mixto	Entero + fracción propia	1¾, 2⅓, 4½

Convertir entre fracciones impropias y números mixtos

Fracción impropia → Número mixto: 7/4 → dividir 7 ÷ 4 = 1 con resto 3 → resultado: 1¾ Pasos: 1. Dividir numerador ÷ denominador 2. El cociente es la parte entera 3. El resto es el nuevo numerador 4. El denominador no cambia Número mixto → Fracción impropia: 2⅓ → (2 × 3 + 1) / 3 = 7/3 Pasos: 1. Multiplicar la parte entera por el denominador 2. Sumar el numerador 3. Poner sobre el mismo denominador Más ejemplos: 11/4 = 2¾ (11 ÷ 4 = 2 resto 3) 13/5 = 2⅗ (13 ÷ 5 = 2 resto 3) 3⅔ = 11/3 (3×3 + 2 = 11)

2. Simplificación de Fracciones

    Para simplificar una fracción, divide numerador y denominador entre su Máximo Común Divisor (MCD). Una fracción está en su mínima expresión cuando MCD(numerador, denominador) = 1.
  

Simplificar 18/24: Paso 1: Encontrar el MCD de 18 y 24 Factores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18 Factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 MCD(18, 24) = 6 Paso 2: Dividir ambos entre el MCD 18 ÷ 6 = 3 24 ÷ 6 = 4 Resultado: 18/24 = 3/4 ✓ Más ejemplos: 36/48 → MCD = 12 → 3/4 15/25 → MCD = 5 → 3/5 14/21 → MCD = 7 → 2/3 100/75 → MCD = 25 → 4/3

3. Fracciones Equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. Multiplicar o dividir numerador y denominador por el mismo número no cambia el valor.

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 50/100 Verificación cruzada: a/b = c/d si a × d = b × c 1/2 = 3/6 → 1×6 = 2×3 → 6 = 6 ✓ 2/3 = 8/12 → 2×12 = 3×8 → 24 = 24 ✓ Para generar fracciones equivalentes: 3/5 = 6/10 = 9/15 = 12/20 (multiplicando por 2, 3, 4...)

4. Operaciones con Fracciones

Suma y Resta: Denominador Común

CASO 1 — Mismo denominador: sumar/restar numeradores directamente 3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8 7/9 - 4/9 = (7-4)/9 = 3/9 = 1/3 (simplificada) CASO 2 — Diferente denominador: encontrar el MCM primero Ejemplo: 1/4 + 2/3 Paso 1: MCM(4, 3) = 12 (el menor número divisible por 4 y por 3) Paso 2: Convertir ambas fracciones al denominador 12 1/4 = ?/12 → multiplicar por 3: 1×3/4×3 = 3/12 2/3 = ?/12 → multiplicar por 4: 2×4/3×4 = 8/12 Paso 3: Sumar 3/12 + 8/12 = 11/12 Ejemplo: 5/6 - 3/8 MCM(6, 8) = 24 5/6 = 20/24 3/8 = 9/24 20/24 - 9/24 = 11/24

Multiplicación de Fracciones

Regla: multiplicar numeradores entre sí y denominadores entre sí. (a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d) Ejemplos: 2/3 × 3/4 = (2×3)/(3×4) = 6/12 = 1/2 5/6 × 2/5 = (5×2)/(6×5) = 10/30 = 1/3 Truco — simplificar en diagonal ANTES de multiplicar: 4/9 × 3/8 → 4 y 8 comparten factor 4: 1/9 × 3/2 → 3 y 9 comparten factor 3: 1/3 × 1/2 = 1/6 (mucho más sencillo que 12/72 = 1/6)

División de Fracciones: "Voltear y Multiplicar"

Regla: dividir por una fracción = multiplicar por su recíproco (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) Ejemplos: 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 × 2/1 = 6/4 = 3/2 = 1½ 5/6 ÷ 5/3 = 5/6 × 3/5 = 15/30 = 1/2 2 ÷ 1/3 = 2/1 × 3/1 = 6 (Dividir entre 1/3 es lo mismo que multiplicar por 3) Verificación intuitiva: 3/4 ÷ 1/2 = "¿Cuántas mitades caben en 3/4?" En 3/4 caben exactamente 1½ mitades ✓

5. Fracciones y Decimales: La Conexión

Fracción → Decimal

Método: dividir numerador ÷ denominador 3/4 = 3 ÷ 4 = 0.75 (termina — decimal terminante) 1/3 = 1 ÷ 3 = 0.333... (decimal periódico: 0.3̄) 5/6 = 5 ÷ 6 = 0.8333... (decimal periódico: 0.83̄) 7/8 = 7 ÷ 8 = 0.875 (termina) 1/7 = 1 ÷ 7 = 0.142857142857... (período de 6 dígitos) ¿Cuándo termina? Cuando el denominador (en mínima expresión) solo tiene factores 2 y/o 5: 1/4 = 1/(2²) → termina en 0.25 3/8 = 3/(2³) → termina en 0.375 1/6 = 1/(2×3) → tiene factor 3, entonces NO termina

Decimal → Fracción

Decimal terminante: 0.75 = 75/100 = 3/4 (simplificar entre MCD = 25) 0.125 = 125/1000 = 1/8 (simplificar entre MCD = 125) 1.4 = 14/10 = 7/5 (simplificar entre MCD = 2) Decimal periódico — método algebraico: Convertir 0.333... a fracción Sea x = 0.333... 10x = 3.333... 10x - x = 3.333... - 0.333... 9x = 3 x = 3/9 = 1/3 ✓ Convertir 0.272727... a fracción Sea x = 0.272727... 100x = 27.272727... 100x - x = 27 99x = 27 x = 27/99 = 3/11 ✓

6. Porcentajes como Fracciones

Porcentaje = "por ciento" = fracción con denominador 100 35% = 35/100 = 7/20 12.5% = 12.5/100 = 125/1000 = 1/8 66.7% ≈ 2/3 Fórmula del porcentaje: Porcentaje = (Parte / Total) × 100 Ejemplos: ¿Qué porcentaje es 18 de 45? (18/45) × 100 = 0.4 × 100 = 40% ¿Cuánto es el 30% de 250? 250 × 30/100 = 250 × 0.30 = 75 En una receta para 6 personas necesitas 3/4 de taza de azúcar. ¿Cuánta necesitas para 4 personas? Porción por persona = 3/4 ÷ 6 = 3/24 = 1/8 taza Para 4 personas: 1/8 × 4 = 4/8 = 1/2 taza

7. Aplicaciones en el Mundo Real

Problema 1 — Descuento en tienda: Un televisor cuesta $800. Hay un descuento de 3/8 del precio. ¿Cuánto pagas? Descuento = 800 × 3/8 = 2400/8 = $300 Precio final = 800 - 300 = $500 Problema 2 — Herencia: Un testamento divide una herencia: 1/2 para el hijo mayor, 1/3 para el segundo, el resto para el tercero. ¿Qué fracción recibe el tercero? 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 Tercero = 1 - 5/6 = 1/6 Problema 3 — Mezcla de pintura: Se mezclan 2½ litros de pintura roja con 1¾ de azul. ¿Cuántos litros hay en total? 2½ + 1¾ = 5/2 + 7/4 = 10/4 + 7/4 = 17/4 = 4¼ litros

Resumen del Capítulo

Las fracciones pueden ser propias (num < den), impropias (num ≥ den) o números mixtos; se convierten entre sí dividiendo o usando la fórmula (entero × den + num)/den.
Para simplificar, divide numerador y denominador entre su MCD; la fracción equivalente más simple tiene MCD = 1.
La suma y resta requieren denominador común; usa el MCM para encontrarlo y convierte ambas fracciones antes de operar.
La multiplicación multiplica numeradores entre sí y denominadores entre sí; simplifica en diagonal antes de multiplicar para facilitar el cálculo.
La división de fracciones equivale a multiplicar por el recíproco ("voltear y multiplicar"): a/b ÷ c/d = a/b × d/c.
Para convertir fracción a decimal, divide; para decimal terminante a fracción, usa el denominador potencia de 10; para periódico, usa el método algebraico con 10x o 100x.
Los porcentajes son fracciones con denominador 100; la fórmula es Porcentaje = (Parte/Total) × 100.