Matemáticas · Capítulo 20
Introducción al Cálculo Diferencial: El Estudio del Cambio
De la velocidad media a la instantánea, de la recta secante a la tangente: cómo Newton y Leibniz inventaron el lenguaje matemático del movimiento y la optimización
La Motivación: ¿Qué Velocidad Tengo Ahora Mismo?
Imagina que conduces un automóvil. El velocímetro en el tablero muestra "80 km/h". ¿Qué significa exactamente ese número? No es la velocidad promedio de tu viaje (eso lo calcularías como distancia total dividida por tiempo total). Es la velocidad en ese instante, en ese punto preciso del tiempo.
Calcular una velocidad promedio es sencillo: velocidad media = distancia / tiempo. Pero la velocidad instantánea parece imposible de calcular directamente: ¿cómo divides una distancia "cero" entre un tiempo "cero"? El cálculo diferencial, desarrollado independientemente por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz en la segunda mitad del siglo XVII, resolvió exactamente este problema mediante el concepto de límite.
Límites: La Base del Cálculo
Un límite describe el comportamiento de una función cuando su argumento se aproxima a un valor, sin necesariamente alcanzarlo.
Notación: lím(x→a) f(x) = L significa que f(x) se aproxima a L cuando x se aproxima a a (pero x ≠ a).
Ejemplo intuitivo con tabla:
Para f(x) = (x²−1)/(x−1), evaluar cerca de x = 1:
x = 0,9 → f(0,9) = (0,81−1)/(0,9−1) = (−0,19)/(−0,1) = 1,9
x = 0,99 → f(0,99) = (0,9801−1)/(−0,01) = 1,99
x = 0,999 → f(0,999) = 1,999
x = 1,001 → f(1,001) = 2,001
x = 1,01 → f(1,01) = 2,01
Aunque f(1) = 0/0 (indeterminado), lím(x→1) (x²−1)/(x−1) = 2
(Algebraicamente: (x²−1)/(x−1) = (x+1)(x−1)/(x−1) = x+1 → cuando x→1, x+1→2)
El límite clásico del cálculo: lím(x→0) sen(x)/x = 1
Este límite no puede calcularse por sustitución directa (0/0). Aproximación numérica:
x = 0,1 rad → sen(0,1)/0,1 = 0,0998/0,1 = 0,998
x = 0,01 → sen(0,01)/0,01 = 0,99998
x = 0,001 → 0,9999998
lím(x→0) sen(x)/x = 1
Este límite es fundamental en trigonometría diferencial: sin él no podríamos derivar la función seno.
La Definición Formal de la Derivada
La derivada de f en x es el límite de la tasa de cambio promedio cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
Definición formal de la derivada:
f'(x) = lím(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h
Interpretación geométrica: es la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (x, f(x)).
Interpretación física: es la tasa de cambio instantánea de f respecto a x.
Derivar f(x) = x² desde la definición:
f'(x) = lím(h→0) [(x+h)² − x²] / h
Expandir (x+h)²:
= lím(h→0) [x² + 2xh + h² − x²] / h
= lím(h→0) [2xh + h²] / h
= lím(h→0) h(2x + h) / h
= lím(h→0) (2x + h)
= 2x
Por lo tanto, si f(x) = x², entonces f'(x) = 2x. En x = 3, la pendiente tangente es 2(3) = 6.
Derivar f(x) = x³ desde la definición:
f'(x) = lím(h→0) [(x+h)³ − x³] / h
Expandir (x+h)³ = x³ + 3x²h + 3xh² + h³:
= lím(h→0) [x³ + 3x²h + 3xh² + h³ − x³] / h
= lím(h→0) [3x²h + 3xh² + h³] / h
= lím(h→0) (3x² + 3xh + h²)
= 3x²
Notaciones de la Derivada
Existen varias notaciones equivalentes para la derivada, cada una con sus ventajas según el contexto:
- f'(x) — notación de Lagrange (la más común en cursos de matemáticas)
- dy/dx — notación de Leibniz (enfatiza la razón de cambio; muy usada en física e ingeniería)
- ẋ (punto sobre la variable) — notación de Newton (usada en mecánica para derivadas respecto al tiempo)
- Df(x) — notación del operador diferencial
Reglas de Derivación
Regla de la constante y de la potencia
d/dx(c) = 0 (la derivada de una constante es cero — no cambia)
d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹ (Regla de la Potencia)
Ejemplos:
d/dx(x⁵) = 5x⁴
d/dx(x) = 1x⁰ = 1
d/dx(x^(1/2)) = (1/2)x^(−1/2) = 1/(2√x)
d/dx(1/x) = d/dx(x⁻¹) = −x⁻² = −1/x²
Regla de la suma/diferencia y de la constante multiplicativa
d/dx[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)
d/dx[c·f(x)] = c·f'(x)
Ejemplo: derivar h(x) = 3x⁴ − 5x² + 7x − 2
h'(x) = 3·4x³ − 5·2x + 7·1 − 0
h'(x) = 12x³ − 10x + 7
Regla del producto
(uv)' = u'v + uv'
Prueba (idea): si u y v cambian en Δu y Δv, el producto cambia en
(u+Δu)(v+Δv) − uv = uΔv + vΔu + ΔuΔv
Dividiendo entre Δx y tomando límite: (uv)' = u·v' + v·u' ■
Ejemplo: derivar f(x) = x²·(3x + 1)
u = x², u' = 2x; v = 3x+1, v' = 3
f'(x) = 2x·(3x+1) + x²·3 = 6x² + 2x + 3x² = 9x² + 2x
Regla del cociente
(u/v)' = (u'v − uv') / v²
Mnemónico: "derivada del numerador por denominador menos numerador por derivada del denominador, todo sobre el denominador al cuadrado".
Ejemplo: derivar f(x) = (x² + 1)/(2x − 3)
u = x²+1, u' = 2x; v = 2x−3, v' = 2
f'(x) = [2x·(2x−3) − (x²+1)·2] / (2x−3)²
= [4x² − 6x − 2x² − 2] / (2x−3)²
= (2x² − 6x − 2) / (2x−3)²
Regla de la cadena
Si h(x) = f(g(x)), entonces h'(x) = f'(g(x))·g'(x)
Intuición: "derivada de la función exterior evaluada en la interior, por derivada de la interior".
Ejemplos:
d/dx[(x²+1)⁵] = 5(x²+1)⁴ · 2x = 10x(x²+1)⁴
d/dx[sen(3x)] = cos(3x) · 3 = 3cos(3x)
d/dx[e^(x²)] = e^(x²) · 2x = 2xe^(x²)
d/dx[√(5x+1)] = (1/(2√(5x+1))) · 5 = 5/(2√(5x+1))
Derivadas de Funciones Elementales
| Función f(x) | Derivada f'(x) | Observación |
|---|
| sen x | cos x | Demostrable con límite de sen(h)/h = 1 |
| cos x | −sen x | El signo negativo es crucial |
| tan x | sec²x | Derivable de sen/cos con regla del cociente |
| eˣ | eˣ | Única función igual a su propia derivada |
| aˣ (a > 0) | aˣ · ln a | Generalización de eˣ |
| ln x | 1/x | Solo para x > 0 |
| logₐ x | 1/(x · ln a) | Generalización del logaritmo natural |
Significado Geométrico: Crecimiento y Decrecimiento
El signo de f'(x) indica el comportamiento de f:
- f'(x) > 0 en un intervalo → f es creciente en ese intervalo
- f'(x) < 0 en un intervalo → f es decreciente en ese intervalo
- f'(x) = 0 en un punto → punto crítico (posible máximo, mínimo o punto de inflexión)
La segunda derivada f''(x) indica concavidad:
- f''(x) > 0 → cóncava hacia arriba (como una taza)
- f''(x) < 0 → cóncava hacia abajo (como una montaña invertida)
- f''(x) = 0 → posible punto de inflexión (cambio de concavidad)
Aplicación: Optimización
Problema clásico: Cercar un rectángulo con perímetro fijo
Tienes 200 metros de malla para cercar un rectángulo rectangular. ¿Qué dimensiones maximizan el área?
Variables: largo = l, ancho = a
Restricción: 2l + 2a = 200 → l + a = 100 → l = 100 − a
Función a maximizar: A = l · a = (100 − a) · a = 100a − a²
Derivar e igualar a cero:
dA/da = 100 − 2a = 0
a = 50 metros
l = 100 − 50 = 50 metros
Verificar que es máximo (segunda derivada): d²A/da² = −2 < 0 → máximo ✓
El rectángulo de área máxima es el cuadrado de 50×50 = 2.500 m².
Aplicación en física: movimiento de un proyectil
La posición de un automóvil es s(t) = t³ − 6t² + 9t (en metros, t en segundos).
Velocidad instantánea v(t) = s'(t) = 3t² − 12t + 9
Aceleración a(t) = v'(t) = s''(t) = 6t − 12
¿Cuándo el automóvil está en reposo (velocidad = 0)?
3t² − 12t + 9 = 0 → t² − 4t + 3 = 0 → (t−1)(t−3) = 0
t = 1 s y t = 3 s
¿Está acelerando o frenando en t = 2?
v(2) = 3(4) − 24 + 9 = −3 m/s (velocidad negativa: va en retroceso)
a(2) = 12 − 12 = 0 m/s² (aceleración nula en t=2)
Introducción al Cálculo Integral: La Antiderivada
El cálculo diferencial y el integral son dos caras de la misma moneda, unidas por el Teorema Fundamental del Cálculo. Si la derivada "deshace" la integral, la integral "deshace" la derivada.
Antiderivada o integral indefinida:
Si F'(x) = f(x), entonces F es una antiderivada de f.
Notación: ∫f(x)dx = F(x) + C (donde C es una constante arbitraria)
Ejemplos básicos:
∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1) — la regla de la potencia invertida
∫cos(x)dx = sen(x) + C
∫eˣdx = eˣ + C
∫1/x dx = ln|x| + C
Teorema Fundamental del Cálculo (enunciado):
∫ₐᵇf(x)dx = F(b) − F(a) donde F'(x) = f(x)
La integral definida de a a b calcula el área neta bajo la curva f(x) entre x=a y x=b.
Resumen del Capítulo
- La derivada f'(x) = lím(h→0)[f(x+h)−f(x)]/h mide la tasa de cambio instantánea; geométricamente es la pendiente de la recta tangente en cada punto.
- Desde la definición: d/dx(x²) = 2x y d/dx(x³) = 3x², que generaliza a la Regla de la Potencia: d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹.
- Las reglas básicas (suma, producto, cociente, cadena) permiten derivar cualquier función elemental sin regresar a la definición de límite.
- Funciones especiales: d/dx(eˣ) = eˣ (única función igual a su derivada), d/dx(ln x) = 1/x, d/dx(sen x) = cos x, d/dx(cos x) = −sen x.
- El signo de f'(x) indica crecimiento/decrecimiento; los puntos donde f'(x)=0 son candidatos a máximos o mínimos. La segunda derivada f''(x) determina la concavidad.
- Optimización: derivar la función objetivo, igualar a cero, resolver, verificar con segunda derivada. El cuadrado maximiza el área con perímetro fijo.
- El Teorema Fundamental del Cálculo une diferenciación e integración: ∫ₐᵇf(x)dx = F(b)−F(a) calcula el área bajo la curva usando la antiderivada.