Matemáticas · Capítulo 19

Progresiones Aritméticas y Geométricas: Los Patrones del Universo

Sucesiones con diferencia constante o razón constante — fórmulas para el término n-ésimo, sumas finitas, series infinitas convergentes y sus aplicaciones al interés compuesto y el crecimiento exponencial

Sucesiones Aritméticas

Una progresión aritmética (o sucesión aritmética) es una sucesión donde la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma constante d, llamada diferencia común.

Ejemplos de progresiones aritméticas:

Fórmula del término general

Derivación de aₙ = a₁ + (n−1)d:

a₁ = a₁
a₂ = a₁ + d
a₃ = a₁ + d + d = a₁ + 2d
a₄ = a₁ + 3d
...
aₙ = a₁ + (n−1)d ■
Ejemplos con la fórmula del término general:

1. Progresión 3, 7, 11, 15, ... → a₁=3, d=4
Término 20: a₂₀ = 3 + (20−1)·4 = 3 + 76 = 79

2. ¿Qué término es igual a 103?
103 = 3 + (n−1)·4 → 100 = (n−1)·4 → n−1 = 25 → n = 26

3. Insertar 3 medios aritméticos entre 5 y 25:
La sucesión completa es: 5, _, _, _, 25 (5 términos total)
a₅ = 25: 25 = 5 + (5−1)d → 20 = 4d → d = 5
Sucesión: 5, 10, 15, 20, 25

4. Encontrar a₁ y d si a₄ = 17 y a₁₀ = 41:
a₄ = a₁ + 3d = 17
a₁₀ = a₁ + 9d = 41
Restando: 6d = 24 → d = 4
a₁ = 17 − 3(4) = 5

Suma de Progresiones Aritméticas: La Historia de Gauss

La leyenda cuenta que en 1787, cuando el matemático Carl Friedrich Gauss tenía apenas 10 años, su maestro encargó a la clase sumar los números del 1 al 100 esperando mantenerlos ocupados un rato. En segundos, Gauss escribió la respuesta: 5.050. Su razonamiento fue brillante: si escribes la suma hacia adelante y hacia atrás, cada par de términos suma lo mismo.

Derivación de la fórmula de suma (método de Gauss):

S = a₁ + a₂ + ... + aₙ
S = aₙ + aₙ₋₁ + ... + a₁ (misma suma, orden invertido)

Sumando ambas filas: cada uno de los n pares suma (a₁ + aₙ)
2S = n(a₁ + aₙ)
Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Sustituyendo aₙ = a₁ + (n−1)d:
Sₙ = n[2a₁ + (n−1)d]/2

Para 1 + 2 + ... + 100: n=100, a₁=1, a₁₀₀=100
S₁₀₀ = 100(1+100)/2 = 100 × 101/2 = 5.050 ✓
Ejemplos de sumas aritméticas:

1. Suma de los primeros 50 números impares (1+3+5+...+99):
a₁ = 1, d = 2, n = 50, a₅₀ = 1 + 49·2 = 99
S₅₀ = 50(1+99)/2 = 50 × 100/2 = 2.500

2. Suma 3 + 7 + 11 + ... + 99:
a₁ = 3, d = 4, aₙ = 99 → n = (99−3)/4 + 1 = 25
S₂₅ = 25(3+99)/2 = 25 × 51 = 1.275

3. Una empresa paga $1.000 el primer mes, $1.050 el segundo, $1.100 el tercero... ¿Cuánto en total al cabo de 12 meses?
a₁ = 1000, d = 50, n = 12
a₁₂ = 1000 + 11·50 = 1.550
S₁₂ = 12(1000+1550)/2 = 12 × 1275 = $15.300

Sucesiones Geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión donde el cociente entre términos consecutivos es siempre la misma constante r, llamada razón común.

Ejemplos de progresiones geométricas: Fórmula del término general: aₙ = a₁ · r^(n−1)
Ejemplos con la fórmula geométrica:

1. Sucesión 3, 6, 12, 24, ... → a₁=3, r=2
Término 8: a₈ = 3 · 2⁷ = 3 · 128 = 384

2. ¿Cuál es la razón si a₁=5 y a₄=40?
a₄ = 5 · r³ = 40 → r³ = 8 → r = 2

3. ¿Qué término de 3, 6, 12, 24, ... es igual a 768?
768 = 3 · 2^(n−1) → 2^(n−1) = 256 = 2⁸ → n−1 = 8 → n = 9

4. Insertar 2 medios geométricos entre 2 y 54:
Sucesión: 2, _, _, 54 (4 términos, a₄=54)
54 = 2 · r³ → r³ = 27 → r = 3
Sucesión: 2, 6, 18, 54

Suma de Progresión Geométrica Finita

Derivación de Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r) para r ≠ 1:

Sₙ = a₁ + a₁r + a₁r² + ... + a₁r^(n−1)
r·Sₙ = a₁r + a₁r² + ... + a₁rⁿ

Restando (Sₙ − r·Sₙ):
Sₙ(1−r) = a₁ − a₁rⁿ = a₁(1−rⁿ)
Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r) ■
Ejemplos de sumas geométricas:

1. Suma 2 + 6 + 18 + ... + 1458 (r=3):
Primero encontrar n: 1458 = 2 · 3^(n−1) → 3^(n−1) = 729 = 3⁶ → n = 7
S₇ = 2(1−3⁷)/(1−3) = 2(1−2187)/(−2) = (−2·−2186)/2 = 2.186

2. Suma de los primeros 10 términos de 1, 1/2, 1/4, ... (r=1/2):
S₁₀ = 1·(1−(1/2)¹⁰)/(1−1/2) = (1−1/1024)/(1/2) = 2·(1023/1024) = 1023/512 ≈ 1,998

Series Geométricas Infinitas: Convergencia

Cuando |r| < 1, al sumar infinitos términos de una progresión geométrica obtenemos una suma finita. Esto resuelve paradojas como la de Zenón de Elea (¿cómo puede Aquiles alcanzar a la tortuga si siempre queda una distancia por recorrer?)

Suma de serie geométrica infinita (|r| < 1):
S∞ = a₁/(1−r)

Prueba: Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r). Cuando |r|<1, rⁿ→0 cuando n→∞.
Por lo tanto: S∞ = lím(n→∞) Sₙ = a₁(1−0)/(1−r) = a₁/(1−r) ■

Si |r| ≥ 1: la serie diverge (la suma crece sin límite o oscila).
Aplicaciones de series infinitas:

1. Prueba de que 0,999... = 1:
0,999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...
Es una serie geométrica con a₁ = 9/10 y r = 1/10
S∞ = (9/10)/(1−1/10) = (9/10)/(9/10) = 1 ✓

2. Pelota que rebota:
Una pelota se deja caer desde 10 m de altura. Cada rebote alcanza 2/3 de la altura anterior. ¿Distancia total recorrida?
Caída inicial: 10 m
Subidas + bajadas: 2·10·(2/3) + 2·10·(2/3)² + ... = 2·10·(2/3)·[1/(1−2/3)] = (40/3)·3 = 40 m
Distancia total = 10 + 40 = 50 metros

3. Paradoja de Zenón resuelta:
Aquiles recorre 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... metros
S∞ = (1/2)/(1−1/2) = 1 metro en tiempo finito ✓

Interés Compuesto como Progresión Geométrica

Ejemplo completo con tabla:

Depósito inicial: $1.000. Interés anual: 10%. Horizonte: 5 años.
Cada año el capital se multiplica por r = 1,10.

Año 0: $1.000,00
Año 1: $1.000 × 1,10 = $1.100,00
Año 2: $1.100 × 1,10 = $1.210,00
Año 3: $1.210 × 1,10 = $1.331,00
Año 4: $1.331 × 1,10 = $1.464,10
Año 5: $1.464,10 × 1,10 = $1.610,51

Fórmula general: Aₙ = 1000 × (1,10)ⁿ → esto es una progresión geométrica con a₁=1100 y r=1,10.

Regla del 72: Para estimar en cuántos años se duplica un capital al r% de interés compuesto: años ≈ 72/r. Al 10%: 72/10 = 7,2 años. Verificación: (1,10)⁷·² ≈ 2,00 ✓

La Sucesión de Fibonacci y la Razón Áurea

La sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...) se define por la recurrencia Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ con F₁=F₂=1. No es aritmética ni geométrica, pero tiene una conexión profunda con ambos tipos de progresiones.

El cociente de Fibonacci converge a φ:

F₂/F₁ = 1/1 = 1,000
F₃/F₂ = 2/1 = 2,000
F₄/F₃ = 3/2 = 1,500
F₅/F₄ = 5/3 ≈ 1,667
F₆/F₅ = 8/5 = 1,600
F₇/F₆ = 13/8 = 1,625
F₁₀/F₉ = 55/34 ≈ 1,6176
F₁₅/F₁₄ = 610/377 ≈ 1,61803...

El límite es exactamente φ = (1+√5)/2 ≈ 1,61803...

Resumen del Capítulo