Matemáticas · Capítulo 18
Geometría Analítica: Donde el Álgebra se Encuentra con la Geometría
Coordenadas cartesianas, ecuaciones de rectas, circunferencias y parábolas — el lenguaje algebraico de las figuras geométricas
El Sistema Cartesiano: La Gran Síntesis de Descartes
René Descartes (1596-1650) tuvo una intuición revolucionaria que unificó la geometría y el álgebra: cualquier punto en el plano puede describirse exactamente mediante dos números —su distancia horizontal al eje vertical (coordenada x) y su distancia vertical al eje horizontal (coordenada y). Esta idea, aparentemente simple, permitió traducir problemas geométricos en ecuaciones algebraicas y viceversa.
El plano cartesiano tiene dos ejes perpendiculares que se cruzan en el origen O = (0,0). El eje horizontal es el eje x (abscisas) y el vertical es el eje y (ordenadas). Los cuatro cuadrantes se numeran I, II, III, IV en sentido antihorario desde la esquina superior derecha.
Fórmula de la Distancia
Derivación a partir del Teorema de Pitágoras:
Dados dos puntos A = (x₁, y₁) y B = (x₂, y₂), el segmento AB es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son:
— Cateto horizontal: |x₂ − x₁|
— Cateto vertical: |y₂ − y₁|
Por Pitágoras: d² = (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²
Por lo tanto: d(A,B) = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
Ejemplos de distancia:
1. A = (1, 2) y B = (4, 6):
d = √[(4−1)² + (6−2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5
2. A = (−3, 1) y B = (2, −4):
d = √[(2−(−3))² + (−4−1)²] = √[25 + 25] = √50 = 5√2 ≈ 7,07
3. A = (0, 0) y B = (−6, 8):
d = √[(−6)² + 8²] = √[36 + 64] = √100 = 10
Fórmula del Punto Medio
El punto medio M de un segmento AB:
M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Intuición: el punto medio es simplemente el promedio de las coordenadas de cada extremo.
Ejemplos:
1. A = (2, 4) y B = (8, 10): M = ((2+8)/2, (4+10)/2) = (5, 7)
2. A = (−3, 5) y B = (7, −1): M = ((−3+7)/2, (5+(−1))/2) = (2, 2)
3. Si M = (3, 4) y A = (1, 2), encontrar B:
3 = (1+xB)/2 → xB = 5; 4 = (2+yB)/2 → yB = 6 → B = (5, 6)
Ecuación de la Recta
La pendiente
Pendiente m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) = Δy/Δx = "subida entre avance"
m > 0: recta creciente (sube de izquierda a derecha)
m < 0: recta decreciente (baja de izquierda a derecha)
m = 0: recta horizontal (y = constante)
m indefinida: recta vertical (x = constante); división entre 0
Formas de la ecuación de la recta
| Forma | Ecuación | Cuándo usar |
|---|
| Pendiente-intersección | y = mx + b | Cuando se conoce la pendiente m y la intersección con el eje y (b) |
| Punto-pendiente | y − y₁ = m(x − x₁) | Cuando se conoce la pendiente y un punto de la recta |
| Forma estándar | Ax + By = C | Para sistemas de ecuaciones; A, B, C enteros |
| Dos puntos | m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), luego punto-pendiente | Cuando solo se conocen dos puntos |
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (2, 3) y (5, 9):
Paso 1 — Calcular la pendiente:
m = (9−3)/(5−2) = 6/3 = 2
Paso 2 — Usar forma punto-pendiente con (2, 3):
y − 3 = 2(x − 2)
y − 3 = 2x − 4
y = 2x − 1
Verificación con el segundo punto (5, 9): y = 2(5) − 1 = 9 ✓
Rectas paralelas y perpendiculares
Condición de paralelismo: dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente: m₁ = m₂
Condición de perpendicularidad: dos rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son recíprocas negativas (opuestas): m₁ · m₂ = −1, es decir, m₂ = −1/m₁
Prueba de perpendicularidad:
Si la recta L₁ tiene pendiente m, la recta perpendicular L₂ tiene pendiente −1/m. La inclinación de L₁ es arctan(m) y la de L₂ es arctan(−1/m). La diferencia de estos ángulos es exactamente 90°, que puede verificarse usando la fórmula de la tangente de la diferencia de ángulos.
Ejemplo de rectas paralelas y perpendiculares:
Recta original: y = 3x + 2 (pendiente m = 3)
Recta paralela que pasa por (1, 5):
m = 3 (misma pendiente)
y − 5 = 3(x − 1) → y = 3x + 2... espera, verifiquemos: 5 = 3(1) + b → b = 2
¡Es la misma recta! Probar con (1, 7):
y − 7 = 3(x − 1) → y = 3x + 4 (paralela)
Recta perpendicular que pasa por (2, 4):
m⊥ = −1/3
y − 4 = −(1/3)(x − 2)
y = −x/3 + 2/3 + 4 = −x/3 + 14/3
La Circunferencia
Ecuación de la circunferencia con centro (h, k) y radio r:
(x − h)² + (y − k)² = r²
Derivación: un punto (x, y) está en la circunferencia si y solo si su distancia al centro (h, k) es exactamente r:
√[(x−h)² + (y−k)²] = r → (x−h)² + (y−k)² = r² ■
Ejemplo 1: Escribir la ecuación de una circunferencia
Centro (3, −2) y radio 5:
(x − 3)² + (y − (−2))² = 5²
(x − 3)² + (y + 2)² = 25
Ejemplo 2: Encontrar centro y radio de x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0
Completar el cuadrado en x: x² − 4x = (x−2)² − 4
Completar el cuadrado en y: y² + 6y = (y+3)² − 9
(x−2)² − 4 + (y+3)² − 9 − 3 = 0
(x−2)² + (y+3)² = 16
Centro: (2, −3), radio: r = 4
La Parábola
Forma vértice de la parábola: y = a(x − h)² + k
— Vértice en (h, k)
— Si a > 0: abre hacia arriba (mínimo en el vértice)
— Si a < 0: abre hacia abajo (máximo en el vértice)
— Eje de simetría: x = h
— |a| grande → parábola más angosta; |a| pequeño → más ancha
Convertir y = 2x² − 12x + 19 a forma vértice:
Método: completar el cuadrado
y = 2(x² − 6x) + 19
y = 2(x² − 6x + 9 − 9) + 19
y = 2(x − 3)² − 18 + 19
y = 2(x − 3)² + 1
Vértice: (3, 1). La parábola abre hacia arriba (a=2>0). Mínimo en y=1.
Distancia de un Punto a una Recta
Fórmula: distancia del punto (x₀, y₀) a la recta Ax + By + C = 0:
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
Distancia del punto (3, 4) a la recta 3x − 4y + 5 = 0:
A = 3, B = −4, C = 5, x₀ = 3, y₀ = 4
d = |3(3) + (−4)(4) + 5| / √(9 + 16)
d = |9 − 16 + 5| / √25
d = |−2| / 5 = 2/5 = 0,4 unidades
Aplicaciones de la Geometría Analítica
Aplicación en GPS (aproximación plana):
Dos torres de telefonía A = (0, 0) y B = (10, 0) km están separadas 10 km. Una señal llega a A y B con diferencias de tiempo que indican que la fuente está 6 km más cerca de A que de B. ¿Dónde está la fuente?
d(P,A) = √(x² + y²)
d(P,B) = √((x−10)² + y²)
Condición: d(P,B) − d(P,A) = 6
Esta es la definición de una hipérbola con focos en A y B. La localización exacta requiere una tercera torre para determinar el punto único.
Equilibrio de oferta y demanda:
Demanda: p = −2q + 100 (precio baja cuando cantidad sube)
Oferta: p = 3q + 20 (precio sube cuando cantidad sube)
Punto de equilibrio = intersección:
−2q + 100 = 3q + 20
80 = 5q
q* = 16 unidades, p* = −2(16) + 100 = $68
El mercado se equilibra con 16 unidades a $68.
Resumen del Capítulo
- El sistema cartesiano de Descartes permite describir cualquier punto del plano con dos coordenadas (x, y), unificando álgebra y geometría.
- Fórmula de distancia: d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] — derivada directamente del Teorema de Pitágoras.
- Fórmula del punto medio: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) — promedio de coordenadas de los extremos.
- Las tres formas de la ecuación de la recta (pendiente-intersección, punto-pendiente, estándar) se convierten entre sí; rectas paralelas tienen igual pendiente y las perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es −1.
- La circunferencia (x−h)² + (y−k)² = r² se deriva de la fórmula de distancia; completar el cuadrado permite identificar centro y radio desde la forma general.
- La parábola y = a(x−h)² + k tiene vértice (h,k); completar el cuadrado convierte la forma estándar y = ax²+bx+c a la forma vértice.
- La geometría analítica tiene aplicaciones directas en GPS (triangulación), gráficos por computadora y modelos económicos (equilibrio oferta-demanda como intersección de rectas).