Matemáticas · Capítulo 17
El Sistema Numérico: De los Naturales a los Reales
La jerarquía completa de los números, la prueba clásica de que √2 es irracional, y la introducción a los números complejos
La Jerarquía de los Conjuntos Numéricos
Los números que usamos en matemáticas forman una jerarquía de conjuntos anidados, donde cada conjunto más grande contiene al anterior como subconjunto: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.
Los conjuntos numéricos fundamentales:
- ℕ (Naturales): {1, 2, 3, 4, ...} — los números de contar. Algunos autores incluyen el 0.
- ℤ (Enteros): {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} — los naturales más sus negativos y el cero.
- ℚ (Racionales): todos los números expresables como p/q donde p, q ∈ ℤ y q ≠ 0.
- ℝ (Reales): todos los racionales más los irracionales. Corresponde a todos los puntos en la recta numérica.
- ℂ (Complejos): todos los reales más los números de la forma a + bi donde i = √(−1).
Números Racionales: Representación Decimal
Todo número racional p/q tiene una representación decimal que es terminante (si el denominador en su forma reducida solo tiene factores primos 2 y 5) o periódica (si tiene otros factores primos).
Decimales terminantes:
1/4 = 0,25 (denominador 4 = 2² solo tiene factor 2)
3/8 = 0,375 (denominador 8 = 2³)
7/20 = 0,35 (denominador 20 = 2² × 5)
Decimales periódicos:
1/3 = 0,333... = 0,3̄
2/7 = 0,285714285714... = 0,2̄8̄5̄7̄1̄4̄ (período de 6 cifras)
5/6 = 0,8333... = 0,83̄ (período de 1 cifra)
1/11 = 0,090909... = 0,0̄9̄ (período de 2 cifras)
Convirtiendo decimales periódicos a fracciones
Caso simple: convertir 0,333... a fracción
Sea x = 0,333...
Entonces 10x = 3,333...
Restando: 10x − x = 3,333... − 0,333...
9x = 3
x = 3/9 = 1/3 ✓
Caso con período de 3 cifras: convertir 0,123123123... a fracción
Sea x = 0,123123...
Entonces 1000x = 123,123123...
Restando: 1000x − x = 123
999x = 123
x = 123/999 = 41/333
Verificación: 41/333 = 0,123123... ✓
Caso con parte no periódica: convertir 0,1666... = 0,16̄ a fracción
Sea x = 0,1666...
10x = 1,666... → 100x = 16,666...
Restando: 100x − 10x = 16,666... − 1,666... = 15
90x = 15
x = 15/90 = 1/6 ✓
Números Irracionales: La Prueba de que √2 es Irracional
Esta es una de las pruebas más elegantes de las matemáticas, atribuida a los pitagóricos de la antigua Grecia (aunque su descubrimiento causó crisis filosófica porque los pitagóricos creían que todo número era racional). Usamos el método de prueba por contradicción: asumimos lo contrario de lo que queremos probar, y llegamos a una contradicción lógica, lo cual demuestra que nuestro supuesto inicial era falso.
Prueba de que √2 es irracional:
Supuesto (por contradicción): √2 es racional. Entonces existe una fracción p/q en su mínima expresión (es decir, mcd(p,q) = 1, no tienen factores comunes) tal que √2 = p/q.
Paso 1: Elevar ambos lados al cuadrado:
2 = p²/q² → p² = 2q²
Paso 2: Por lo tanto p² es par (es igual a 2 veces algo). Si p² es par, entonces p también es par (si p fuera impar, p² sería impar). Sea p = 2k para algún entero k.
Paso 3: Sustituir p = 2k en p² = 2q²:
(2k)² = 2q² → 4k² = 2q² → q² = 2k²
Paso 4: Por lo tanto q² es par, lo que implica que q también es par.
Contradicción: Tanto p como q son pares, lo que significa que ambos tienen factor 2 en común. Pero asumimos que p/q estaba en mínima expresión (mcd(p,q) = 1). ¡Contradicción!
Conclusión: Nuestro supuesto inicial era falso. Por lo tanto, √2 NO es racional → √2 es irracional. ∎
Los Irracionales Famosos
| Número | Símbolo | Valor aproximado | Historia y contexto |
|---|
| Pi | π | 3,14159265358979... | Ratio circunferencia/diámetro. Lindemann probó su trascendencia en 1882. Archimedes lo aproximó entre 223/71 y 22/7. |
| Número de Euler | e | 2,71828182845904... | Base del logaritmo natural. Base del crecimiento continuo. Euler lo definió como lím(1+1/n)ⁿ cuando n→∞. |
| Razón áurea | φ | 1,61803398874989... | φ = (1+√5)/2. Satisface φ² = φ+1. Aparece en la espiral de Fibonacci y la arquitectura clásica. |
| Raíz de 2 | √2 | 1,41421356237309... | La diagonal del cuadrado de lado 1. El primer irracional conocido, descubierto por los pitagóricos ~500 a.C. |
| Raíz de 3 | √3 | 1,73205080756887... | Aparece en triángulos equiláteros y expresiones trigonométricas (sen 60°, cos 30°). |
La conexión Fibonacci-φ
La sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...) tiene una propiedad asombrosa: el cociente de términos consecutivos converge a φ. Calculemos: 5/3 = 1,667; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 ≈ 1,615; 55/34 ≈ 1,6176; 89/55 ≈ 1,6182... Se aproxima a φ = 1,61803...
Propiedades de los Números Reales
Los axiomas del campo real:
- Conmutatividad: a + b = b + a y a·b = b·a
- Asociatividad: (a+b)+c = a+(b+c) y (a·b)·c = a·(b·c)
- Distributividad: a(b+c) = ab + ac
- Identidad aditiva: a + 0 = a (el 0 es el elemento neutro de la suma)
- Identidad multiplicativa: a · 1 = a (el 1 es el elemento neutro del producto)
- Inverso aditivo: para todo a existe −a tal que a + (−a) = 0
- Inverso multiplicativo: para todo a ≠ 0 existe 1/a tal que a · (1/a) = 1
Valor Absoluto e Intervalos
Valor absoluto: |x| = distancia de x al origen en la recta numérica
|5| = 5, |−7| = 7, |0| = 0
Propiedad: |x| ≥ 0 para todo x real; |x| = 0 solo si x = 0
Resolución de |x − 3| < 5:
Equivale a: −5 < x − 3 < 5
Sumando 3: −2 < x < 8
Solución: intervalo abierto (−2, 8)
Resolución de |2x + 1| ≥ 3:
Caso 1: 2x + 1 ≥ 3 → x ≥ 1
Caso 2: 2x + 1 ≤ −3 → x ≤ −2
Solución: (−∞, −2] ∪ [1, +∞)
Notación de intervalos:
- [a, b]: intervalo cerrado (incluye a y b)
- (a, b): intervalo abierto (excluye a y b)
- [a, b): semiabierto por la derecha
- (a, +∞): todos los reales mayores que a
- (−∞, b]: todos los reales menores o iguales a b
La Propiedad de Densidad
Entre cualquier par de números racionales distintos siempre existe otro número racional (de hecho, infinitos). Esta es la propiedad de densidad.
Encontrar un racional entre 1/3 y 1/2:
Promedio: (1/3 + 1/2)/2 = (2/6 + 3/6)/2 = (5/6)/2 = 5/12
Verificar: 1/3 = 4/12 < 5/12 < 6/12 = 1/2 ✓
Entre 5/12 y 1/2 podemos encontrar otro: (5/12 + 6/12)/2 = 11/24.
Este proceso puede repetirse infinitamente.
Introducción a los Números Complejos
El conjunto de los reales tiene una limitación: √(−1) no existe en ℝ (ningún número real al cuadrado es negativo). Para resolver ecuaciones como x² + 1 = 0, los matemáticos del siglo XVI introdujeron la unidad imaginaria.
La unidad imaginaria i:
Definición: i = √(−1), lo que implica i² = −1
Potencias de i (ciclo de periodo 4):
i¹ = i
i² = −1
i³ = i² · i = −i
i⁴ = i² · i² = (−1)(−1) = 1
i⁵ = i (el ciclo se repite)
Un número complejo tiene la forma: z = a + bi
donde a = parte real y b = parte imaginaria
Ejemplos: 3 + 2i, −1 − 4i, 5i (b=0 → real), 3 (b=0 → real puro), 2i (a=0 → imaginario puro)
Por qué necesitamos los complejos:
La ecuación x² + 4 = 0 no tiene solución real (x² = −4 requiere √(−4)).
Pero con complejos: x = ±√(−4) = ±2i
Verificación: (2i)² + 4 = 4i² + 4 = 4(−1) + 4 = −4 + 4 = 0 ✓
La fórmula cuadrática x = (−b ± √(b²−4ac))/2a produce soluciones complejas cuando el discriminante b²−4ac < 0. Los números complejos completan el sistema numérico: toda ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas (Teorema Fundamental del Álgebra).
Resumen del Capítulo
- Los conjuntos numéricos forman una jerarquía anidada: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ, donde cada conjunto extiende el anterior para resolver nuevas ecuaciones.
- Todo racional tiene decimal terminante (si el denominador en forma reducida solo tiene factores 2 y 5) o periódico. Los decimales periódicos se convierten a fracción usando la técnica de multiplicar por 10ⁿ y restar.
- La prueba por contradicción de que √2 es irracional es uno de los argumentos más elegantes de la matemática: asumir que √2 = p/q (mínima expresión) lleva a que tanto p como q son pares, contradiciendo la hipótesis.
- π (trascendente desde 1882), e y φ = (1+√5)/2 = 1,618... son los irracionales más importantes; φ es el límite del cociente de términos consecutivos de Fibonacci.
- Los axiomas del campo real (conmutatividad, asociatividad, distributividad, identidades, inversos) son las reglas algebraicas fundamentales que justifican todos los cálculos.
- El valor absoluto |x| mide la distancia al origen; las desigualdades con valor absoluto producen intervalos o uniones de intervalos en la recta real.
- Los números complejos z = a+bi (donde i² = −1) completan el sistema numérico: el Teorema Fundamental del Álgebra garantiza que toda ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n raíces complejas.