Matemáticas · Capítulo 16

Potencias y Raíces: El Lenguaje de los Exponentes

De la multiplicación repetida a los exponentes fraccionarios: las leyes que gobiernan el crecimiento exponencial, la notación científica y el interés compuesto

Definición y Leyes de los Exponentes

Una potencia aⁿ significa multiplicar la base a por sí misma n veces: aⁿ = a × a × a × ... × a (n factores). Por ejemplo, 2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32. El número a es la base y n es el exponente o potencia.

Las siete leyes de los exponentes:
  1. Producto (misma base): aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
  2. Cociente (misma base): aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0)
  3. Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
  4. Potencia de un producto: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
  5. Potencia de un cociente: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (b ≠ 0)
  6. Exponente cero: a⁰ = 1 (a ≠ 0)
  7. Exponente negativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0)

Demostración de la ley del producto

aᵐ · aⁿ = (a·a·...·a) × (a·a·...·a) = a·a·...·a = aᵐ⁺ⁿ
          (m factores) (n factores) (m+n factores)

Ejemplo numérico: 3⁴ · 3² = (3·3·3·3) × (3·3) = 3⁶ = 729
Verificación: 3⁴ = 81, 3² = 9, 81 × 9 = 729 ✓ y 3⁶ = 729 ✓

Ejemplos de cada ley

LeyEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿx³ · x⁵ = x⁸2⁴ · 2³ = 2⁷ = 128y² · y = y³
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿx⁷/x² = x⁵5⁶/5² = 5⁴ = 625a⁸/a⁸ = a⁰ = 1
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ(x³)⁴ = x¹²(2³)² = 2⁶ = 64(y⁵)³ = y¹⁵
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ(2x)³ = 8x³(3y)² = 9y²(2ab)⁴ = 16a⁴b⁴
(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ(x/2)³ = x³/8(3/y)² = 9/y²(2/5)³ = 8/125

El Exponente Cero

Prueba de que a⁰ = 1 (usando la ley del cociente):

Sabemos que cualquier número dividido por sí mismo es 1: aⁿ/aⁿ = 1
Pero por la ley del cociente: aⁿ/aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰
Por lo tanto: a⁰ = 1 para cualquier a ≠ 0

Ejemplos: 5⁰ = 1, (−3)⁰ = 1, (x²y³)⁰ = 1, π⁰ = 1

Exponentes Negativos

Prueba de que a⁻ⁿ = 1/aⁿ:

Por la ley del cociente: a²/a⁵ = a²⁻⁵ = a⁻³
Pero también: a²/a⁵ = (a·a)/(a·a·a·a·a) = 1/a³
Por lo tanto: a⁻³ = 1/a³

Ejemplos prácticos:
2⁻⁴ = 1/2⁴ = 1/16
x⁻² = 1/x²
(3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9 (invertir la base y cambiar el signo del exponente)
5x⁻³ = 5/x³ (solo x tiene exponente negativo, no el 5)

Exponentes Fraccionarios y Raíces

La conexión entre exponentes y raíces

Definición de a^(1/n):

Queremos que a^(1/2) sea consistente con las leyes. Por la ley de la potencia:
(a^(1/2))² = a^(1/2 × 2) = a¹ = a

Pero √a también satisface: (√a)² = a
Por lo tanto: a^(1/2) = √a

Generalizando: a^(1/n) = ⁿ√a (la raíz n-ésima de a)

Y combinando: a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ)
Ejemplos con exponentes fraccionarios:

27^(1/3) = ³√27 = 3 (porque 3³ = 27)
16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8
8^(2/3) = (³√8)² = 2² = 4
32^(3/5) = (⁵√32)³ = 2³ = 8
x^(5/2) = (√x)⁵ = x² · √x

Simplificación de Raíces Cuadradas

Método de factorización prima

Simplificar √72:

Paso 1 — Factorizar 72 en primos: 72 = 2 × 36 = 2 × 4 × 9 = 2² × 2 × 3² = 2³ × 3²
(o más rápido: 72 = 4 × 18 = 4 × 9 × 2 = 36 × 2)

Paso 2 — Aplicar √(a·b) = √a · √b:
√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2

Más ejemplos:
√50 = √(25 × 2) = 5√2
√75 = √(25 × 3) = 5√3
√200 = √(100 × 2) = 10√2
√108 = √(36 × 3) = 6√3

Suma y resta de radicales semejantes

Solo se pueden sumar o restar radicales con el mismo índice y el mismo radicando (llamados radicales semejantes), igual que con términos algebraicos semejantes:

3√2 + 5√2 = 8√2
7√3 − 2√3 = 5√3
√8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2 (primero simplificar)
√12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
3√5 + 2√7 = no se puede simplificar (radicandos distintos)

Racionalización del denominador

Caso 1: denominador con raíz simple
3/√5 = 3/√5 × √5/√5 = 3√5/5

Caso 2: denominador con binomio (usar conjugado)
1/(√3 − 1) = [1 × (√3 + 1)] / [(√3 − 1)(√3 + 1)]
= (√3 + 1) / (3 − 1) = (√3 + 1) / 2

La clave: (√3 − 1)(√3 + 1) = (√3)² − 1² = 3 − 1 = 2 (diferencia de cuadrados)

Notación Científica

La notación científica expresa números muy grandes o muy pequeños en la forma a × 10ⁿ, donde 1 ≤ a < 10 y n es entero.

Conversiones:

7.500.000 = 7,5 × 10⁶ (mover la coma 6 lugares a la izquierda → exponente positivo)
0,0000034 = 3,4 × 10⁻⁶ (mover la coma 6 lugares a la derecha → exponente negativo)
La distancia de la Tierra al Sol: 150.000.000 km = 1,5 × 10⁸ km
El diámetro de un átomo de hidrógeno: 0,0000000001 m = 1 × 10⁻¹⁰ m

Aritmética con notación científica:

(3 × 10⁴) × (2 × 10³) = (3 × 2) × 10⁴⁺³ = 6 × 10⁷
(8 × 10⁶) / (4 × 10²) = (8/4) × 10⁶⁻² = 2 × 10⁴
(4 × 10⁵) + (3 × 10⁴) = (4 × 10⁵) + (0,3 × 10⁵) = 4,3 × 10⁵ (igualar exponentes primero)

Aplicaciones: Interés Compuesto, Crecimiento y Decaimiento

Fórmula del interés compuesto:
A = P(1 + r/n)^(nt)

Donde:
A = monto final acumulado
P = capital inicial (principal)
r = tasa de interés anual (en decimal)
n = número de veces que se capitaliza por año
t = tiempo en años
Ejemplo completo de interés compuesto:

Inviertes $5.000 al 6% de interés anual, capitalizado mensualmente (n=12), durante 10 años.

A = 5000(1 + 0,06/12)^(12×10)
A = 5000(1 + 0,005)¹²⁰
A = 5000(1,005)¹²⁰

(1,005)¹²⁰ ≈ 1,8194 (calculadora)

A = 5000 × 1,8194 = $9.097

Los $5.000 iniciales casi se duplican en 10 años. El interés ganado: $9.097 − $5.000 = $4.097.
Decaimiento radioactivo (vida media):

El Carbono-14 tiene una vida media de 5.730 años: cada 5.730 años, la mitad del material se desintegra.

Fórmula: cantidad restante = cantidad inicial × (1/2)^(t/5730)

Pregunta: De 100 gramos de C-14, ¿cuánto queda después de 17.190 años?
17.190/5.730 = 3 vidas medias
cantidad = 100 × (1/2)³ = 100 × 1/8 = 12,5 gramos

O usando la fórmula exponencial: N(t) = N₀ × e^(−λt) donde λ = ln(2)/t½
Crecimiento de población:

Una población de bacterias comienza con 1.000 individuos y se duplica cada 3 horas. ¿Cuántas hay después de 12 horas?

12 horas / 3 horas por duplicación = 4 duplicaciones
Población = 1000 × 2⁴ = 1000 × 16 = 16.000 bacterias

Resumen del Capítulo