Matemáticas · Capítulo 14

Trigonometría: Senos, Cosenos y Tangentes

Del triángulo rectángulo al círculo unitario: cómo los ángulos describen relaciones entre distancias en la naturaleza, la ingeniería y la física

Repaso: El Triángulo Rectángulo y el Teorema de Pitágoras

La trigonometría nace en el triángulo rectángulo —aquel que tiene un ángulo de 90°. El Teorema de Pitágoras establece la relación fundamental entre sus lados: el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto, siempre el más largo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Teorema de Pitágoras: a² + b² = c²
donde c = hipotenusa, a y b = catetos

Triples pitagóricos más comunes (valores enteros):
Aplicación del Teorema de Pitágoras:

Un árbol proyecta una sombra de 8 m. La distancia desde la punta de la sombra hasta la copa del árbol es 10 m. ¿Qué altura tiene el árbol?

a² + b² = c²
altura² + 8² = 10²
altura² = 100 − 64 = 36
altura = √36 = 6 metros

Las Razones Trigonométricas: SOH-CAH-TOA

Para un ángulo θ en un triángulo rectángulo, definimos las tres razones trigonométricas fundamentales en función de los lados:

Las tres razones fundamentales (mnemónico SOH-CAH-TOA):

Seno: sen θ = Opuesto / Hipotenusa
Coseno: cos θ = Adyacente / Hipotenusa
Tangente: tan θ = Opuesto / Adyacente

Las tres recíprocas:
cosecante: csc θ = 1/sen θ = H/O
secante: sec θ = 1/cos θ = H/A
cotangente: cot θ = 1/tan θ = A/O
Calculando todas las razones en el triángulo 3-4-5:

Consideremos el ángulo θ opuesto al cateto de longitud 3:
— Lado opuesto a θ = 3
— Lado adyacente a θ = 4
— Hipotenusa = 5

sen θ = 3/5 = 0,6
cos θ = 4/5 = 0,8
tan θ = 3/4 = 0,75
csc θ = 5/3 ≈ 1,667
sec θ = 5/4 = 1,25
cot θ = 4/3 ≈ 1,333

Para verificar con la calculadora: θ = arcsen(0,6) ≈ 36,87°

Encontrar Lados Desconocidos

Problema 1: Encontrar la altura de un edificio

Un observador está a 50 metros de la base de un edificio. El ángulo de elevación hasta la cima es de 35°. ¿Cuánto mide el edificio?

El ángulo dado (35°) tiene:
— Lado adyacente = 50 m (distancia horizontal)
— Lado opuesto = altura del edificio (desconocida)

tan(35°) = opuesto / adyacente
tan(35°) = altura / 50
altura = 50 × tan(35°)
altura = 50 × 0,7002 = 35,01 metros

Problema 2: Encontrar la longitud de una rampa

Una rampa de acceso sube 1,2 m de altura con un ángulo de 8°. ¿Cuánto mide la rampa?

sen(8°) = opuesto / hipotenusa = 1,2 / rampa
rampa = 1,2 / sen(8°) = 1,2 / 0,1392 = 8,62 metros

Triángulos Especiales: Valores Exactos

Triángulo 45°-45°-90°

Si los dos ángulos agudos son iguales (45° cada uno), los dos catetos son iguales. Llamando al cateto = 1, por Pitágoras la hipotenusa = √(1²+1²) = √2.

Valores exactos para 45°:
sen 45° = 1/√2 = √2/2 ≈ 0,7071
cos 45° = 1/√2 = √2/2 ≈ 0,7071
tan 45° = 1/1 = 1

Triángulo 30°-60°-90°

Derivado de un triángulo equilátero de lado 2: cortarlo por la mitad da un triángulo con ángulos 30°-60°-90°, hipotenusa 2, cateto menor 1 y cateto mayor √(2²−1²) = √3.

Valores exactos para 30° y 60°:

Para 30° (opuesto=1, adyacente=√3, hipotenusa=2):
sen 30° = 1/2 = 0,5
cos 30° = √3/2 ≈ 0,866
tan 30° = 1/√3 = √3/3 ≈ 0,577

Para 60° (opuesto=√3, adyacente=1, hipotenusa=2):
sen 60° = √3/2 ≈ 0,866
cos 60° = 1/2 = 0,5
tan 60° = √3/1 = √3 ≈ 1,732

Ángulos en los Cuatro Cuadrantes: Referencia ASTC

Al extender la trigonometría más allá de los triángulos rectángulos a ángulos de cualquier magnitud (incluyendo obtuso y negativos), usamos la mnemónica ASTC para recordar qué funciones son positivas en cada cuadrante.

ASTC: "All Students Take Calculus"
(También: "Antes Sal Tomás Cayó")

— I cuadrante (0°-90°): All — todas las funciones son positivas
— II cuadrante (90°-180°): Sine — solo seno (y cosecante) son positivos
— III cuadrante (180°-270°): Tangent — solo tangente (y cotangente) son positivos
— IV cuadrante (270°-360°): Cosine — solo coseno (y secante) son positivos
Ejemplo: calcular sen 150°

150° está en el II cuadrante. El ángulo de referencia es 180° − 150° = 30°.
En el II cuadrante, el seno es POSITIVO.
Por lo tanto: sen 150° = +sen 30° = 1/2

Ejemplo: calcular tan 225°

225° está en el III cuadrante. Ángulo de referencia: 225° − 180° = 45°.
En el III cuadrante, tangente es POSITIVA.
tan 225° = +tan 45° = 1

El Círculo Unitario

El círculo unitario —un círculo de radio 1 centrado en el origen— unifica toda la trigonometría. Para un punto P en el círculo correspondiente al ángulo θ, las coordenadas son exactamente (cos θ, sen θ). Esto permite definir el seno y coseno para cualquier ángulo real.

Ángulo θcos θsen θtan θ
0°100
30°√3/21/2√3/3
45°√2/2√2/21
60°1/2√3/2√3
90°01indefinido
120°−1/2√3/2−√3
135°−√2/2√2/2−1
150°−√3/21/2−√3/3
180°−100
270°0−1indefinido
360°100

La Identidad Pitagórica Fundamental

Demostración de sen²θ + cos²θ = 1:

En el círculo unitario, el punto P = (cos θ, sen θ) está a distancia 1 del origen.
Por el Teorema de Pitágoras: (cos θ)² + (sen θ)² = 1²
Por lo tanto: sen²θ + cos²θ = 1 para cualquier ángulo θ

Identidades derivadas:
Dividiendo entre cos²θ: tan²θ + 1 = sec²θ
Dividiendo entre sen²θ: 1 + cot²θ = csc²θ

Aplicaciones Reales

Navegación: rumbo y distancia

Un barco navega N 40° E durante 120 km. ¿Cuánto avanzó hacia el norte y cuánto hacia el este?

Componente Norte = 120 × cos(40°) = 120 × 0,766 = 91,9 km al norte
Componente Este = 120 × sen(40°) = 120 × 0,643 = 77,1 km al este
Ingeniería: porcentaje de pendiente

Una carretera sube 15 metros por cada 100 metros horizontales.
Ángulo de inclinación: tan θ = 15/100 = 0,15 → θ = arctan(0,15) ≈ 8,5°
Pendiente como porcentaje = (15/100) × 100% = 15%

Ley de Senos

Para triángulos que no son rectángulos, la Ley de Senos relaciona cada lado con el seno del ángulo opuesto:

Ley de Senos: a/sen A = b/sen B = c/sen C

Cuándo usar: cuando se conocen dos ángulos y un lado (AAS o ASA), o dos lados y un ángulo no incluido (SSA — caso ambiguo).

Ejemplo: En un triángulo, A = 40°, B = 75°, a = 8 cm. Encontrar b.
b/sen B = a/sen A
b/sen 75° = 8/sen 40°
b = 8 × sen 75° / sen 40° = 8 × 0,966 / 0,643 = 12,01 cm

Resumen del Capítulo