Matemáticas · Capítulo 12
Funciones y Gráficas: Visualizando las Matemáticas
Descubre cómo las funciones describen relaciones entre cantidades y cómo las gráficas revelan esas relaciones visualmente.
1. ¿Qué es una Función?
Una función es una regla que asigna a cada valor de entrada (x) exactamente un valor de salida (y). Ningún valor de x puede tener dos valores de y diferentes.
Notación: f(x) se lee "f de x" y representa el valor de salida cuando la entrada es x.
¿Función o no función?
{(1,3), (2,5), (3,7)} → Función ✓ (cada x tiene exactamente un y)
{(1,3), (2,5), (1,7)} → NO es función ✗ (x=1 tiene dos y: 3 y 7)
Prueba de la línea vertical:
Una gráfica representa una función si NINGUNA línea vertical
toca la gráfica en más de un punto.
Una parábola y = x² → Función ✓
Un círculo x² + y² = 4 → NO es función ✗
(una línea vertical toca el círculo en 2 puntos)
Notación funcional:
f(x) = 2x + 3
f(4) = 2(4) + 3 = 11 → la entrada 4 produce 11
f(-1) = 2(-1) + 3 = 1 → la entrada -1 produce 1
f(a) = 2a + 3 → la entrada a produce 2a+3
2. Dominio y Recorrido (Rango)
Dominio: conjunto de todos los valores de x permitidos
Recorrido: conjunto de todos los valores de y posibles
f(x) = x²
Dominio: todos los reales (−∞, +∞)
Recorrido: y ≥ 0 [0, +∞) — un cuadrado nunca es negativo
g(x) = 1/x
Dominio: todos los reales EXCEPTO x = 0 (no se puede dividir por 0)
Recorrido: todos los reales excepto y = 0
h(x) = √x
Dominio: x ≥ 0 [0, +∞) — no podemos sacar raíz de negativos (en ℝ)
Recorrido: y ≥ 0 [0, +∞)
3. Funciones Lineales: y = mx + b
Una función lineal produce una línea recta. La forma general es y = mx + b, donde m es la pendiente y b es el intercepto con el eje y.
y = 2x + 1
b = 1 → La recta cruza el eje y en el punto (0, 1)
m = 2 → Por cada 1 unidad que avanza x, y sube 2 unidades
Tabla de valores:
x = -2 → y = 2(-2)+1 = -3 punto (-2, -3)
x = -1 → y = 2(-1)+1 = -1 punto (-1, -1)
x = 0 → y = 2(0)+1 = 1 punto (0, 1)
x = 1 → y = 2(1)+1 = 3 punto (1, 3)
x = 2 → y = 2(2)+1 = 5 punto (2, 5)
Graficar: marcar los puntos y unir con una línea recta.
Calcular la Pendiente entre Dos Puntos
m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = "cambio en y" / "cambio en x" = "subida / avance"
Encontrar la pendiente entre A(2, 5) y B(6, 13):
m = (13 - 5) / (6 - 2) = 8/4 = 2
Encontrar la pendiente entre P(-1, 4) y Q(3, -4):
m = (-4 - 4) / (3 - (-1)) = -8/4 = -2 (pendiente negativa = baja)
Interpretación:
m > 0 → la recta sube de izquierda a derecha
m < 0 → la recta baja de izquierda a derecha
m = 0 → la recta es horizontal (y constante)
m indefinida → la recta es vertical (x constante)
Rectas paralelas y perpendiculares:
Paralelas: misma pendiente, diferente intercepto
y = 3x + 2 y y = 3x - 5 son paralelas (m = 3 en ambas)
Perpendiculares: pendientes son recíprocos negativos
Si m₁ = 2, entonces m₂ = -1/2
Verificar: 2 × (-1/2) = -1 ✓
4. Funciones Cuadráticas: y = ax² + bx + c
Una función cuadrática produce una parábola. El coeficiente a determina la apertura: si a > 0, la parábola abre hacia arriba; si a < 0, hacia abajo.
y = x² - 4x + 3
a = 1 (positivo) → parábola abre hacia arriba ∪
Vértice (punto más bajo o más alto):
x_vértice = -b/(2a) = -(-4)/(2×1) = 4/2 = 2
y_vértice = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Vértice: (2, -1)
Eje de simetría: x = 2
Raíces (donde cruza el eje x, y = 0):
x² - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
x = 1 o x = 3
Raíces: (1, 0) y (3, 0)
Intercepto en y (x = 0):
y = 0 - 0 + 3 = 3
Punto: (0, 3)
Fórmula Cuadrática
Para ax² + bx + c = 0, las soluciones son:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
El discriminante Δ = b² − 4ac determina el número de raíces: Δ > 0 → dos raíces reales; Δ = 0 → una raíz doble; Δ < 0 → sin raíces reales.
Resolver 2x² - 5x - 3 = 0
a = 2, b = -5, c = -3
Δ = (-5)² - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 > 0 → dos raíces reales
x = (5 ± √49) / (2×2) = (5 ± 7) / 4
x₁ = (5 + 7)/4 = 12/4 = 3
x₂ = (5 - 7)/4 = -2/4 = -1/2
Verificar x₁ = 3: 2(9) - 5(3) - 3 = 18 - 15 - 3 = 0 ✓
Verificar x₂ = -½: 2(¼) - 5(-½) - 3 = ½ + 5/2 - 3 = 0 ✓
5. Función de Valor Absoluto
f(x) = |x|
|x| = x si x ≥ 0
|x| = -x si x < 0
f(-3) = 3, f(0) = 0, f(5) = 5
La gráfica tiene forma de V con vértice en el origen.
f(x) = |x - 2| + 1
Vértice en (2, 1) — la V se desplaza 2 a la derecha y 1 hacia arriba
6. Función Exponencial
f(x) = aˣ donde a > 0 y a ≠ 1
Crecimiento (a > 1):
f(x) = 2ˣ
x = -2 → 1/4 x = -1 → 1/2 x = 0 → 1
x = 1 → 2 x = 2 → 4 x = 3 → 8
Decrecimiento (0 < a < 1):
f(x) = (1/2)ˣ = 2⁻ˣ
x = 0 → 1 x = 1 → 1/2 x = 2 → 1/4
Propiedades:
• Siempre positiva: f(x) > 0 para todo x
• Cruza el eje y en (0, 1) si la base es a: f(0) = a⁰ = 1
• Asíntota horizontal en y = 0 (nunca toca el eje x)
7. Interpretando Gráficas en Contexto
Problema: La temperatura de un café (°C) con el tiempo (minutos):
t = 0 → 90°C (café recién hecho)
t = 5 → 75°C
t = 10 → 63°C
t = 20 → 45°C
t = 60 → 22°C (temperatura ambiente)
Preguntas que puede responder la gráfica:
• ¿A qué temperatura estaba a los 15 min? (~53°C)
• ¿Cuándo llegó a 60°C? (~12 min)
• ¿Cuál es la tasa de enfriamiento inicial? (−90/5 = −3°C/min)
• ¿Por qué la curva se aplana? Se acerca a la temperatura ambiente
Este comportamiento es una función exponencial decreciente:
T(t) = 22 + 68 × e^(-0.033t)
Resumen del Capítulo
- Una función asigna exactamente un valor de salida a cada entrada; la prueba de la línea vertical determina si una gráfica es función.
- La notación f(x) representa el valor de la función en x; f(3) significa "evaluar la función cuando x = 3".
- La función lineal y = mx + b produce una recta; m es la pendiente (subida/avance) y b es donde cruza el eje y.
- La pendiente entre dos puntos se calcula como m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁); rectas paralelas tienen igual pendiente, perpendiculares tienen pendientes recíproco-negativas.
- La función cuadrática y = ax² + bx + c produce una parábola; el vértice está en x = −b/(2a) y las raíces se hallan con la fórmula cuadrática.
- El discriminante Δ = b² − 4ac indica cuántas raíces reales tiene una ecuación cuadrática: positivo = dos, cero = una, negativo = ninguna.
- Las funciones exponenciales f(x) = aˣ modelan crecimientos y decaimientos; siempre son positivas y tienen asíntota horizontal en y = 0.