Matemáticas · Capítulo 11

Álgebra: Ecuaciones Lineales y su Aplicación

Aprende a usar variables y ecuaciones para resolver problemas del mundo real de forma sistemática y poderosa.

1. ¿Qué es el Álgebra?

El álgebra es la rama de las matemáticas que usa letras (variables) para representar cantidades desconocidas o que pueden cambiar. Permite generalizar patrones aritméticos y resolver problemas donde no conocemos todos los valores.

Por ejemplo: "El doble de un número más tres es igual a once. ¿Cuál es el número?" El álgebra convierte esto en: 2x + 3 = 11, y nos da herramientas sistemáticas para encontrar x = 4.

2. Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica combina números, variables y operaciones pero NO tiene signo igual. Un ecuación tiene signo igual y afirma que dos expresiones son iguales.
Expresiones (no tienen solución, solo se simplifican): 3x + 5x = 8x (términos semejantes — misma variable y exponente) 4a - 2b + 3a = 7a - 2b 2(x + 3) = 2x + 6 (propiedad distributiva) Simplificar expresiones: 5x + 3y - 2x + 7y - 4 = (5x - 2x) + (3y + 7y) - 4 (agrupar términos semejantes) = 3x + 10y - 4 3(2a - 4) - 2(a + 1) = 6a - 12 - 2a - 2 (distributiva) = 4a - 14 (simplificar)

3. Ecuaciones de Un Paso

Principio de equivalencia: lo que haces a un lado de la ecuación, debes hacerlo al otro. El objetivo es aislar la variable.
Suma/Resta: x + 7 = 15 x = 15 - 7 x = 8 Verificar: 8 + 7 = 15 ✓ y - 4 = 11 y = 11 + 4 y = 15 Verificar: 15 - 4 = 11 ✓ Multiplicación/División: 3x = 21 x = 21 ÷ 3 x = 7 Verificar: 3(7) = 21 ✓ x/5 = 8 x = 8 × 5 x = 40 Verificar: 40/5 = 8 ✓

4. Ecuaciones de Dos Pasos

Estrategia: 1) Eliminar suma/resta, 2) Eliminar multiplicación/división 2x + 5 = 17 2x = 17 - 5 (restar 5 en ambos lados) 2x = 12 x = 12 / 2 (dividir entre 2 en ambos lados) x = 6 Verificar: 2(6) + 5 = 12 + 5 = 17 ✓ 3x - 7 = 14 3x = 14 + 7 = 21 x = 21 / 3 = 7 Verificar: 3(7) - 7 = 21 - 7 = 14 ✓ x/4 + 3 = 9 x/4 = 9 - 3 = 6 x = 6 × 4 = 24 Verificar: 24/4 + 3 = 6 + 3 = 9 ✓ -2x + 8 = 2 -2x = 2 - 8 = -6 x = -6 / (-2) = 3 Verificar: -2(3) + 8 = -6 + 8 = 2 ✓

5. Ecuaciones con Variable en Ambos Lados

Estrategia: mover todos los términos con variable a un lado, todos los números al otro. 5x + 3 = 2x + 18 5x - 2x = 18 - 3 (mover 2x a la izquierda, 3 a la derecha) 3x = 15 x = 5 Verificar: 5(5)+3 = 28, 2(5)+18 = 28 ✓ 7 - 2x = 4x - 5 7 + 5 = 4x + 2x (mover -2x a derecha, -5 a izquierda) 12 = 6x x = 2 Verificar: 7-2(2) = 3, 4(2)-5 = 3 ✓ 3(x + 4) = 2(x - 1) + 15 3x + 12 = 2x - 2 + 15 (distributiva primero) 3x + 12 = 2x + 13 3x - 2x = 13 - 12 x = 1 Verificar: 3(5) = 15, 2(0)+15 = 15 ✓

6. Ecuaciones con Fracciones

Estrategia: multiplicar TODA la ecuación por el MCM de los denominadores para eliminar las fracciones. x/3 + x/4 = 7 MCM(3, 4) = 12. Multiplicar todo por 12: 12(x/3) + 12(x/4) = 12(7) 4x + 3x = 84 7x = 84 x = 12 Verificar: 12/3 + 12/4 = 4 + 3 = 7 ✓ (2x - 1)/3 = (x + 2)/2 MCM(3, 2) = 6. Multiplicar todo por 6: 6 × (2x-1)/3 = 6 × (x+2)/2 2(2x - 1) = 3(x + 2) 4x - 2 = 3x + 6 4x - 3x = 6 + 2 x = 8 Verificar: (16-1)/3 = 5, (8+2)/2 = 5 ✓

7. Problemas de Palabras → Ecuaciones

Estrategia de traducción:
"la suma de" → + | "la diferencia" → − | "el producto" → × | "el cociente" → ÷
"es / es igual a / resulta" → = | "el doble" → 2x | "tres veces más" → 3x | "un número" → x
Problema 1 — Edades: "Ana tiene 5 años más que Luis. La suma de sus edades es 37. ¿Cuántos años tiene cada uno?" Sea x = edad de Luis Ana tiene x + 5 años Ecuación: x + (x + 5) = 37 2x + 5 = 37 2x = 32 x = 16 → Luis tiene 16 años Ana = 16 + 5 = 21 años Verificar: 16 + 21 = 37 ✓ Problema 2 — Dinero: "Compraste 3 lápices y 5 bolígrafos por $19. Si cada bolígrafo cuesta $2 más que un lápiz, ¿cuánto cuesta cada uno?" Sea x = precio del lápiz Bolígrafo = x + 2 Ecuación: 3x + 5(x + 2) = 19 3x + 5x + 10 = 19 8x = 9 x = $1.125 → lápiz $1.125, bolígrafo $3.125 Problema 3 — Distancia: "Dos ciudades están a 480 km. Dos autos salen al mismo tiempo en dirección contraria a 80 km/h y 100 km/h. ¿Cuándo se encuentran?" Tiempo hasta encuentro = t Distancia A + distancia B = 480 80t + 100t = 480 180t = 480 t = 480/180 = 2⅔ horas = 2 h 40 min

8. Inecuaciones Lineales

Se resuelven igual que ecuaciones, con una regla adicional: ⚠️ Al multiplicar o dividir por un número NEGATIVO, el signo de la desigualdad se INVIERTE. 3x - 4 > 11 3x > 15 x > 5 → solución: todos los números mayores que 5 En recta numérica: ○——————> (círculo abierto en 5) -2x + 6 ≤ 12 -2x ≤ 6 x ≥ -3 → ¡signo invertido al dividir por -2! En recta numérica: ←——● (círculo cerrado en -3) Doble inecuación: -3 < 2x + 1 ≤ 9 -4 < 2x ≤ 8 (restar 1 a las tres partes) -2 < x ≤ 4 (dividir entre 2 las tres partes) Solución: x está entre -2 y 4, sin incluir -2, incluyendo 4

9. Sistemas de Dos Ecuaciones

Método de Sustitución

y = 2x - 1 ...(1) 3x + y = 14 ...(2) Paso 1: Sustituir (1) en (2): 3x + (2x - 1) = 14 5x - 1 = 14 5x = 15 x = 3 Paso 2: Encontrar y con (1): y = 2(3) - 1 = 5 Solución: x = 3, y = 5 Verificar en (2): 3(3) + 5 = 9 + 5 = 14 ✓

Método de Eliminación

2x + 3y = 12 ...(1) 4x - 3y = 6 ...(2) Suma ambas ecuaciones (los términos 3y se cancelan): (2x + 3y) + (4x - 3y) = 12 + 6 6x = 18 x = 3 Sustituir x = 3 en (1): 2(3) + 3y = 12 6 + 3y = 12 3y = 6 y = 2 Solución: x = 3, y = 2 Verificar en (2): 4(3) - 3(2) = 12 - 6 = 6 ✓

Resumen del Capítulo