Matemáticas · Capítulo 10

Porcentajes y Proporciones: Matemáticas del Mundo Real

Domina las herramientas matemáticas más usadas en finanzas, comercio, estadística y vida cotidiana.

1. Porcentajes: La Fórmula Universal

Porcentaje significa "por cada cien". El símbolo % indica que dividimos entre 100.

Fórmula fundamental: Porcentaje = (Parte / Total) × 100
Equivalente: Parte = Total × (Porcentaje / 100)
Tipo 1 — Encontrar el porcentaje: ¿Qué porcentaje es 45 de 180? Porcentaje = (45 / 180) × 100 = 0.25 × 100 = 25% Tipo 2 — Encontrar la parte: ¿Cuánto es el 35% de 260? Parte = 260 × (35/100) = 260 × 0.35 = 91 Tipo 3 — Encontrar el total: 18 es el 12% de ¿qué número? 18 = Total × 0.12 Total = 18 / 0.12 = 150 Verificación: 12% de 150 = 150 × 0.12 = 18 ✓

2. Variación Porcentual

Variación porcentual = ((Valor nuevo − Valor original) / Valor original) × 100
Positivo = aumento. Negativo = disminución.
Aumento porcentual: El salario subió de $2,000 a $2,350. Variación = ((2350 - 2000) / 2000) × 100 = (350 / 2000) × 100 = 0.175 × 100 = 17.5% de aumento Disminución porcentual: Un producto bajó de $80 a $68. Variación = ((68 - 80) / 80) × 100 = (-12 / 80) × 100 = -0.15 × 100 = -15% (disminución del 15%) Aumentos y descuentos encadenados: Un precio de $500 sube 20% y luego baja 20%. ¿Es lo mismo que el precio original? Después del 20% de aumento: 500 × 1.20 = $600 Después del 20% de descuento: 600 × 0.80 = $480 ¡NO es $500! Los porcentajes no son conmutativos en cadena. El precio final es $480 — una pérdida del 4%.

3. Porcentaje Inverso

Problema: Un precio con IVA del 16% es $580. ¿Cuál es el precio sin IVA? INCORRECTO: 580 - 16% de 580 = 580 - 92.8 = $487.2 ❌ (porque el 16% fue calculado sobre el precio original, no sobre $580) CORRECTO: Si el precio sin IVA es P, entonces: P + 0.16P = 580 P(1 + 0.16) = 580 P × 1.16 = 580 P = 580 / 1.16 = $500 ✓ Verificación: 500 + 16% de 500 = 500 + 80 = $580 ✓ Otro ejemplo: Tras un descuento del 25%, un artículo cuesta $135. ¿Cuál era el precio original? Precio × (1 - 0.25) = 135 Precio × 0.75 = 135 Precio = 135 / 0.75 = $180 ✓

4. Interés Simple

I = P × r × t
I = interés generado, P = capital inicial, r = tasa de interés (en decimal), t = tiempo (en años)
Ejemplo 1: Inviertes $5,000 al 8% anual de interés simple durante 3 años. ¿Cuánto interés ganas? ¿Cuál es el monto total? I = P × r × t I = 5000 × 0.08 × 3 I = $1,200 Monto total = P + I = 5000 + 1200 = $6,200 Ejemplo 2: Solicitas un préstamo de $3,600 al 12% anual. ¿Cuánto pagas en total si lo devuelves en 18 meses? t = 18 meses = 18/12 años = 1.5 años I = 3600 × 0.12 × 1.5 = $648 Total a pagar = 3600 + 648 = $4,248

5. Interés Compuesto

A = P(1 + r/n)^(nt)
A = monto final, P = capital inicial, r = tasa anual, n = veces que se capitaliza por año, t = años
Los mismos $5,000 al 8% anual, pero con interés compuesto anual, 3 años: A = 5000 × (1 + 0.08/1)^(1×3) A = 5000 × (1.08)³ A = 5000 × 1.259712 A = $6,298.56 Con interés simple ganamos: $6,200.00 Con interés compuesto: $6,298.56 La diferencia crece drásticamente con el tiempo: ┌──────────┬────────────────┬──────────────────┐ │ Años │ Simple (8%) │ Compuesto (8%) │ ├──────────┼────────────────┼──────────────────┤ │ 5 │ $7,000 │ $7,346.64 │ │ 10 │ $9,000 │ $10,794.62 │ │ 20 │ $13,000 │ $23,304.79 │ │ 30 │ $17,000 │ $50,313.28 │ └──────────┴────────────────┴──────────────────┘ El interés compuesto capitaliza mensualmente (n=12): A = 5000 × (1 + 0.08/12)^(12×3) A = 5000 × (1.006667)^36 A = 5000 × 1.2702 = $6,350.93

6. Proporción Directa

En una proporción directa, al aumentar una cantidad, la otra también aumenta en la misma razón. Se escribe: a/b = c/d, o equivalentemente: a × d = b × c (propiedad cruzada).
Ejemplo 1 — Regla de tres directa: Si 5 kg de naranjas cuestan $15, ¿cuánto costan 8 kg? 5 kg → $15 8 kg → x Proporción: 5/15 = 8/x Propiedad cruzada: 5 × x = 15 × 8 5x = 120 x = $24 Ejemplo 2 — Velocidad constante: Un auto viaja 240 km en 3 horas. ¿Cuánto recorre en 5 horas? 3 h → 240 km 5 h → x km x = (240 × 5) / 3 = 1200 / 3 = 400 km Ejemplo 3 — Receta: Una receta para 4 personas requiere 300g de harina. ¿Cuánta harina necesitas para 7 personas? 4 → 300g 7 → x = (300 × 7) / 4 = 2100 / 4 = 525g

7. Proporción Inversa

En una proporción inversa, al aumentar una cantidad, la otra disminuye en la misma razón. El producto es constante: a × b = c × d.
Ejemplo 1: 8 obreros tardan 15 días en construir una pared. ¿Cuántos días tardarán 12 obreros? Más obreros → menos días (proporción inversa) 8 × 15 = 12 × x 120 = 12x x = 10 días Ejemplo 2: Un grifo llena un tanque en 6 horas. ¿Cuánto tardan 4 grifos iguales? 1 grifo → 6 horas 4 grifos → x 1 × 6 = 4 × x x = 6/4 = 1.5 horas (1 hora 30 minutos) ¿Cómo saber si es directa o inversa? ✅ Directa: "más de A implica más de B" (más kg → más precio) ✅ Inversa: "más de A implica menos de B" (más obreros → menos tiempo)

8. Razón, Proporción y Escala

Razón — comparación de dos cantidades del mismo tipo: En una clase hay 18 niñas y 12 niños. Razón niñas:niños = 18:12 = 3:2 (simplificada) División en proporción: Repartir $840 entre Ana, Luis y Pedro en proporción 3:4:5. Suma de partes = 3 + 4 + 5 = 12 partes Valor de 1 parte = 840 / 12 = $70 Ana: 3 × 70 = $210 Luis: 4 × 70 = $280 Pedro: 5 × 70 = $350 Total: 210 + 280 + 350 = $840 ✓ Escala en mapas: En un mapa, la escala es 1:50,000 Una distancia de 4.5 cm en el mapa, ¿cuánto es en realidad? Distancia real = 4.5 cm × 50,000 = 225,000 cm = 2,250 m = 2.25 km

9. Tasa Unitaria

Tasa unitaria — encontrar el valor "por una unidad" para comparar opciones fácilmente. Comparar precios: Opción A: 3 litros de jugo por $7.50 Opción B: 5 litros de jugo por $11.50 Precio por litro A = 7.50 / 3 = $2.50/litro Precio por litro B = 11.50 / 5 = $2.30/litro La Opción B es más barata por litro ✓ Velocidad como tasa unitaria: Un corredor recorre 400m en 52 segundos. Velocidad = 400/52 ≈ 7.69 m/s Productividad: Una máquina produce 1,440 piezas en 8 horas. Tasa = 1440/8 = 180 piezas/hora = 3 piezas/minuto

Resumen del Capítulo